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计算问题

常用法则 具体公式
加法 $$a+b=b+a$$ $$(a+b)+c=a+(b+c)$$
乘法 $$ab=ba$$ $$(ab)c=a(bc)$$ $$(a+b)c=ac+bc$$
幂次 $$a^ma^n=a^na^m=a^{m+n}$$ $$(a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}$$ $$(ab)^m=a^mb^m$$ $$(\frac{b}{a})^m=\frac{b^m}{a^m}$$
完全平方公式 $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$
平方差公式 $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$
完全立方公式 $$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$$
立方和(差)公式 $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$
阶乘 $$n!=1×2×···×n,0!=1$$
裂项公式 $$\frac d{n(n+d)}=\frac 1 n-\frac 1{n+d},当d=1时,\frac 1 {n(n+1)}=\frac 1 n-\frac 1 {n+1}$$

等差数列

等差数列从字面上很好理解,任意相邻两项的差相等,这个差称为公差。自然数列就是一个典型的等差数列。等差数列需要掌握如下计算公式:

  • 通项公式:$a_n=a_1+(n-1)d$($a_1$是首项,$d$是公差)
  • 对称公式:$a_m+a_n=a_i+a_j$(其中 $m+n=i+j$)
    证明
    $a_m+a_n=a_1(m-1)d+a_1+(n-1)d=2a_1+(m+n-2)d$
    $a_i+a_j=a_1+(i-1)d+a_1+(j-i)d=2a+(i+j-2)d$
    因为$m+n=i+j$,所以$a_m+a_n=a_i+a_j$
  • 利用通项公式求和:$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2 =na_1+\frac 1 2 n(n-1)d$

这个求和公式看似复杂,其实只需要明确其中的算法:$(首项+末项)×项数÷2$。比如从1加到100,可以看成$(1+100)+(2+99)+(3+98)···(50+51)$,一共50组,每组结果都是$101$,所以从1加到100可以看成$(1+100)×50÷2$。